Quiz Maths : algèbre, polynômes et équations du 2nd degré
Teste ton algèbre : factorisation, identités remarquables, équations du second degré, discriminant. Onze questions corrigées avec rappels de cours.
12 questions~6 minfr
Q1 / 12
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Quelle est la forme développée de (a + b)² ?
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Q1. Quelle est la forme développée de (a + b)² ?
- a² + b²
- a² + 2ab + b²
- a² - 2ab + b²
- 2a + 2b
L'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b² provient de la distributivité : (a+b)(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b. Elle est attribuée historiquement aux mathématiciens grecs et arabes (al-Khwarizmi, IXᵉ siècle).Q2. Quel est le discriminant de l'équation ax² + bx + c = 0 ?
- b² - 4ac
- b² + 4ac
- 4ac - b²
- 2a·b·c
Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre de racines réelles : deux si Δ > 0, une double si Δ = 0, aucune réelle si Δ < 0. Les racines s'obtiennent par x = (−b ± √Δ) / 2a.Q3. Combien de solutions réelles a l'équation x² - 5x + 6 = 0 ?
- Aucune
- Une seule
- Deux
- Une infinité
Le discriminant vaut 25 − 24 = 1 > 0, donc deux racines réelles. La factorisation (x − 2)(x − 3) = 0 donne directement x = 2 et x = 3.Q4. Quelle est la factorisation de x² - 9 ?
- (x - 3)²
- (x + 3)²
- (x - 3)(x + 3)
- (x - 9)(x + 1)
C'est une différence de deux carrés : a² − b² = (a − b)(a + b), avec a = x et b = 3. Cette identité est fondamentale pour simplifier de nombreuses expressions algébriques.Q5. Combien vaut (a - b)(a + b) ?
- a² + b²
- a² - b²
- a² - 2ab + b²
- 2ab
Identité de la différence de carrés : (a − b)(a + b) = a² − b². On la retrouve dans toutes les techniques de factorisation rapide.Q6. Quelle est la somme des racines de x² - 7x + 10 = 0 ?
- -7
- 7
- 10
- -10
Les relations de Viète disent que pour ax² + bx + c = 0, la somme des racines vaut −b/a et leur produit c/a. Ici −(−7)/1 = 7, et effectivement les racines 2 et 5 totalisent 7.Q7. Que vaut le développement de (x + 2)(x - 3) ?
- x² - x - 6
- x² + x - 6
- x² - 5x - 6
- x² - 6
On applique la double distributivité : x·x − 3x + 2x − 6 = x² − x − 6. Cette technique est aussi appelée 'méthode FOIL' dans les manuels anglo-saxons.Q8. Quelle est la racine de l'équation 2x + 6 = 0 ?
- x = 3
- x = -3
- x = 6
- x = -6
On isole x : 2x = −6 puis x = −3. Une équation linéaire ax + b = 0 a toujours une unique solution x = −b/a quand a ≠ 0.Q9. Un polynôme de degré 3 a au plus combien de racines réelles ?
- 1
- 2
- 3
- 4
Le théorème fondamental de l'algèbre (Gauss, 1799) garantit qu'un polynôme de degré n a exactement n racines dans ℂ (comptées avec multiplicité), donc au plus n réelles.Q10. Quelle est la forme canonique de x² + 6x + 5 ?
- (x + 3)² - 4
- (x + 3)² + 4
- (x - 3)² - 4
- (x + 5)² - 20
On complète le carré : x² + 6x = (x + 3)² − 9, donc x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. La forme canonique permet de lire immédiatement le sommet de la parabole.Q11. Que vaut (a + b)³ développé ?
- a³ + b³
- a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- a³ + 2ab + b³
- a³ + b³ + 3ab
L'identité du cube est (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, où les coefficients 1-3-3-1 viennent de la 3ᵉ ligne du triangle de Pascal.Q12. Si x² = 16, combien de solutions réelles ?
- 1
- 2
- 4
- Aucune
x² = 16 équivaut à x = ±√16 = ±4, donc deux solutions réelles : 4 et −4. C'est une erreur classique d'oublier la racine négative.
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